Math
数学とは
数・量・図形・構造・変化といった抽象的な概念を、記号と論理を使って研究する学問（形式科学）。
分野の全体像
mindmap
root((数学))
古典的3大分野
代数学
解析学
幾何学
現代で独立して扱われる分野
確率論・統計学
数学基礎論
離散数学
横断区分
純粋数学
応用数学
古典的には「代数・解析・幾何」の3大分野で整理するのが王道。 ここに確率・統計などを加えた分け方が現代では一般的だよ。
① 古典的3大分野
代数学（Algebra）：「構造」と「演算のルール」を調べる
- 数論：整数や素数の性質（暗号技術に応用）
- 線形代数学：ベクトルと行列（AI、3Dグラフィックスに応用）
- 抽象代数学（群論・環論・体論）：対称性や計算のルールそのものを抽象化。ガロア理論は「5次以上の方程式に解の公式がない」ことの説明にもなった
解析学（Analysis）：「変化」と「連続性」を調べる
- 微分積分学：変化の割合、面積・体積
- 微分方程式：物理現象や感染症の拡大などを数式で表す
- 複素解析（複素関数論）：虚数 i を含む複素数の世界での微分積分
- 実解析・測度論・関数解析：極限や積分を厳密に扱う土台（ルベーグ積分など）。確率論の基礎にもなる
幾何学（Geometry）：「図形」と「空間」を調べる
- ユークリッド幾何学：学校で習う、平らな空間の図形
- 非ユークリッド幾何学：双曲幾何・楕円幾何など、平行線の性質が違う空間
- 微分幾何学：曲がった空間を微分で研究（一般相対性理論に応用）
- トポロジー（位相幾何学）：切ったり貼ったりせず、伸ばしたり縮めたりしても変わらない性質を研究（「ドーナツとコーヒーカップは同じ」）
② 現代で独立して扱われる分野
確率論・統計学：「不確実性」と「データ」を調べる
- 確率論：偶然の出来事の法則性。1933年にコルモゴロフが測度論で公理化した
- 統計学：大量のデータから特徴や傾向を導く（データサイエンス、機械学習の基盤）
数学基礎論：「数学そのものの土台」を調べる
- 論理学・集合論・証明論・計算可能性理論
- ゲーデルの不完全性定理（1931年）もここ
離散数学：「とびとびの対象」を調べる
- グラフ理論、組合せ論、アルゴリズムの数理
- 情報科学との相性が特に良い
③ 純粋数学と応用数学
| 区分 | 目的 | 例 |
|---|---|---|
| 純粋数学 | 数学自体の構造を探究 | 数論、トポロジー、抽象代数 |
| 応用数学 | 現実の問題を数理で解く | 数値解析、最適化、情報理論（シャノン、1948年） |
※ 確率・統計は応用数学に分類されることも多い。分け方は流派によって変わるよ。