微分学習ガイド
目次
1. 微分の基本概念
微分係数の定義
関数 $f(x)$ の点 $x = a$ における微分係数は： $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
導関数の定義
関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は： $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
幾何学的意味
- 微分係数は接線の傾き
- 導関数は各点での接線の傾きを表す関数
物理的意味
- 位置関数の微分は速度
- 速度関数の微分は加速度
2. 基本的な微分公式
基本関数の微分
| 関数 | 導関数 |
|---|---|
| $c$ (定数) | $0$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\log_a x$ | $\frac{1}{x \ln a}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ |
| $\sec x$ | $\sec x \tan x$ |
| $\csc x$ | $-\csc x \cot x$ |
| $\cot x$ | $-\csc^2 x$ |
逆三角関数の微分
| 関数 | 導関数 |
|---|---|
| $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arccos x$ | $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arctan x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ |
3. 微分の計算法則
線形性
$$(af(x) + bg(x))' = af'(x) + bg'(x)$$
積の微分法則（ライプニッツ則）
$$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
商の微分法則
$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$
4. 合成関数の微分（連鎖律）
基本形
$y = f(g(x))$ のとき： $$\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
ライプニッツ記法
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$ ここで $u = g(x)$, $y = f(u)$
例題
$y = (x^2 + 1)^3$ を微分する
- $u = x^2 + 1$, $y = u^3$ とおく
- $\frac{du}{dx} = 2x$, $\frac{dy}{du} = 3u^2$
- $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より
- $\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot 2x = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2$
5. 逆関数の微分
基本公式
$y = f(x)$ の逆関数を $x = f^{-1}(y)$ とするとき： $$\frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$
例：$y = \arcsin x$ の導出
- $y = \arcsin x$ ⟺ $x = \sin y$
- $\frac{dx}{dy} = \cos y$
- $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
6. 高次微分
記法
- 2 次導関数：$f''(x)$, $\frac{d^2f}{dx^2}$
- $n$ 次導関数：$f^{(n)}(x)$, $\frac{d^nf}{dx^n}$
ライプニッツの公式（積の高次微分）
$$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}g^{(n-k)}$$
7. 陰関数の微分
基本手法
$F(x,y) = 0$ で定義される陰関数 $y = y(x)$ の微分： $$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$$
例題
$x^2 + y^2 = 1$ を $x$ で微分
- 両辺を $x$ で微分：$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$
- $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
8. 媒介変数表示の微分
基本公式
$x = f(t)$, $y = g(t)$ で表される曲線の場合： $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$$
2 次微分
$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$$
9. 微分の応用
関数の増減
- $f'(x) > 0$ ⟹ $f(x)$ は増加
- $f'(x) < 0$ ⟹ $f(x)$ は減少
極値
- $f'(a) = 0$ かつ $f''(a) > 0$ ⟹ $x = a$ で極小
- $f'(a) = 0$ かつ $f''(a) < 0$ ⟹ $x = a$ で極大
凹凸
- $f''(x) > 0$ ⟹ 下に凸（凹）
- $f''(x) < 0$ ⟹ 上に凸
変曲点
$f''(x) = 0$ かつ $f'''(x) \neq 0$ の点
最適化問題
制約条件下での最大値・最小値問題
10. 偏微分
基本概念
多変数関数 $f(x,y)$ の偏微分：
- $x$ による偏微分：$\frac{\partial f}{\partial x}$
- $y$ による偏微分：$\frac{\partial f}{\partial y}$
全微分
$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$
連鎖律（多変数版）
$z = f(x,y)$, $x = x(t)$, $y = y(t)$ のとき： $$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$
学習の進め方
- 基本公式の暗記：まず基本的な微分公式を覚える
- 計算練習：積・商・合成関数の微分を繰り返し練習
- 応用問題：グラフの概形、最適化問題に取り組む
- 発展内容：陰関数、媒介変数、偏微分へ進む
各カテゴリーごとに具体的な問題集や詳細な解説を別ファイルで作成することをお勧めします。